ম্যাট্রিক্সের সমতা, যোগ, বিয়োগ ও গুণ

একাদশ- দ্বাদশ শ্রেণি - উচ্চতর গণিত উচ্চতর গণিত – ১ম পত্র | - | NCTB BOOK

1.8k

ম্যাট্রিক্স অ্যালজেব্রার মধ্যে সমতা, যোগ, বিয়োগ ও গুণের বিভিন্ন নিয়ম রয়েছে। নিচে প্রতিটি নিয়মের ব্যাখ্যা দেয়া হলো:

ম্যাট্রিক্সের সমতা (Equality of Matrices):
দুটি ম্যাট্রিক্স $A$ এবং $B$ সমান হবে যদি:

তাদের আকার (রো এবং কলামের সংখ্যা) একই হয়।
তাদের প্রতিটি উপাদান সমান হয়, অর্থাৎ $a_{ij} = b_{ij}$ ।

যদি এই দুই শর্ত পূর্ণ হয়, তবে $A = B$ ।

ম্যাট্রিক্সের যোগ (Addition of Matrices):
যদি দুটি ম্যাট্রিক্সের আকার (রো এবং কলাম সংখ্যা) একই হয়, তবে তাদের যোগ করা সম্ভব। $A$ এবং $B$ দুটি ম্যাট্রিক্স হলে তাদের যোগকে $A + B$ হিসেবে প্রকাশ করা হয়। এটি নিচের নিয়ম অনুসারে হয়:

\[
(A + B){ij} = a{ij} + b_{ij}
\]

উদাহরণস্বরূপ, যদি

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \quad \text{এবং} \quad B = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix}$

তাহলে,

$A + B = \begin{pmatrix} 1+5 & 2+6 \\ 3+7 & 4+8 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 6 & 8 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$

ম্যাট্রিক্সের বিয়োগ (Subtraction of Matrices):
যদি দুটি ম্যাট্রিক্সের আকার একই হয়, তবে তাদের বিয়োগ করা সম্ভব। $A$ এবং $B$ দুটি ম্যাট্রিক্স হলে তাদের বিয়োগকে $A - B$ হিসেবে প্রকাশ করা হয়। এটি নিচের নিয়ম অনুসারে হয়:

\[
(A - B){ij} = a{ij} - b_{ij}
\]

উদাহরণস্বরূপ, যদি

$A = \begin{pmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{pmatrix} \quad \text{এবং} \quad B = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix}$

তাহলে,

$A - B = \begin{pmatrix} 5-1 & 6-2 \\ 7-3 & 8-4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 4 \\ 4 & 4 \end{pmatrix}$

ম্যাট্রিক্সের গুণ (Multiplication of Matrices):
ম্যাট্রিক্সের গুণ দুই ধরনের হতে পারে: স্কেলার গুণ এবং ম্যাট্রিক্স গুণ।

১. স্কেলার গুণ (Scalar Multiplication):
কোনো ম্যাট্রিক্সের প্রতিটি উপাদানকে একটি নির্দিষ্ট স্কেলার সংখ্যার সাথে গুণ করা হয়। যদি $k$ একটি স্কেলার সংখ্যা এবং $A$ একটি ম্যাট্রিক্স হয়, তবে $kA$ এর উপাদানগুলো হবে $k \cdot a_{ij}$ ।

উদাহরণস্বরূপ, যদি

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \quad \text{এবং} \quad k = 3$

তাহলে,

$kA = 3 \times \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{pmatrix}$

২. ম্যাট্রিক্স গুণ (Matrix Multiplication):
দুটি ম্যাট্রিক্স $A$ এবং $B$ গুণ করতে হলে $A$ -এর কলামের সংখ্যা এবং $B$ -এর সারির সংখ্যা সমান হতে হবে। যদি $A$ একটি $m \times n$ ম্যাট্রিক্স এবং $B$ একটি $n \times p$ ম্যাট্রিক্স হয়, তবে তাদের গুণফল $AB$ একটি $m \times p$ ম্যাট্রিক্স হবে।

প্রতিটি উপাদান $c_{ij}$ নির্ণয় করার নিয়ম হলো:

$c_{ij} = \sum_{k=1}^n a_{ik} \cdot b_{kj}$

উদাহরণস্বরূপ, যদি

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{pmatrix} \quad \text{এবং} \quad B = \begin{pmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 3 \end{pmatrix}$

তাহলে,

$AB = \begin{pmatrix} (1 \cdot 2 + 2 \cdot 1) & (1 \cdot 0 + 2 \cdot 3) \\ (3 \cdot 2 + 4 \cdot 1) & (3 \cdot 0 + 4 \cdot 3) \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 4 & 6 \\ 10 & 12 \end{pmatrix}$